1 . 已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，.

(1)写出数列前4项的所有可能取法；
(2)判断：是否存在正整数，满足，并说明理由；
(3)为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值.

2 . 已知无穷数列的前项和为，，，对任意的，都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的通项公式；

3 . 设为数列的前项和，满足.
(1)求，，，的值，并由此猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明（1）中的猜想.

4 . 设数列{}的前项和为，已知＝＋．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)若数列{}满足＝－＋，求数列{}的前项和．

7 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)令，是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.

9 . 已知有序数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”.例如：数列，，满足，则其“序数列”为1，3，2.
（1）若数列的通项公式为，写出的“序数列”；
（2）若项数不少于5项的有穷数列，的通项公式分别为，，且“序数列”与的“序数列”相同，求实数t的取值范围；
（3）已知有序数列的“序数列”为.求证：“为等差数列”的充要条件是“为单调数列”.

10 . 设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.
(1)若数列的前n项和，证明：是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求的值；