1 . 已知正数，，成等差数列，且公差，求证：，，不可能是等差数列．
设实数，整数，．证明：当且时，．

2 . 已知数列的前项和（为正整数）.
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，试比较与3的大小，并予以证明.

3 . 已知数列的前n项和为，
(1)证明：数列是等差数列，并求；
（2）设，求证：

4 . （文）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.
（1）求证：；
（2）利用（1）的结论求解：“已知、，求”；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比为，前项和为.试类比问题（1）的结论，给出一个相应的结论并给出证明.并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列，其中，，求数列的前项和.”

5 . 已知是公差为的等差数列，是数列的前项和，是公比为的等比数列，且．
(1)求；
(2)若，证明：．

6 . 已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.

7 . 已知数列满足：，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)是否存在使得数列为等差数列?若存在，求的值及数列的前项和；否则，请说明理由.

8 . 已知函数（，）．
（1）当，时，求曲线在点处的切线方程．
（2）设，是的两个极值点，是的一个零点，且，．证明：存在实数，使得，，，按某种顺序排列后构成等差数列，并求的值．

9 . 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．

10 . 设正项数列的前n项和为，已知,求证：数列是等差数列，并求其通项公式.