1 . 若实数列满足条件，、、，则称是一个“凸数列”.
（1）判断数列和是否为“凸数列”?
（2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数、、，当时，有；
（3）若是一个“凸数列”，证明：对，有.

2 . 已知数列中，，，证明：数列是等比数列

3 . 若存在常数，使得对于任意，都有，则称数列为数列.
（1）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若为数列，求的取值范围；
（2）已知数列的各项均为正数，记的前项和为，数列的前项和为，且，，若数列满足，且为数列，求的最大值；
（3）已知正项数列满足：，且数列为数列，数列为数列，若，求证：数列中必存在无穷多项可以组成等比数列.

4 . 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．

5 . 已知数列，，满足，，，．
（1）证明：数列为常数数列，并写出该数列的通项；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前n项和．

6 . 已知数列的首项，前项之和，满足.数列的前项之和，满足，.
（1）若对任意正整数都有成立，求正数的取值范围；
（2）当，数列满足：，求证：.

7 . 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n＝－a_n＋n(n∈N^*)．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列{a_n－1}的前n项和T_n.

8 . 已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：．

9 . 已知数列满足，，其中为常数，.
（1）求，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

10 . 已知数列中，，.
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令，当取得最大值时，求的值．