1 . 如果数列对任意的满足：，则称数列为“数列”.
（1）已知数列是“数列”，设，求证：数列是递增数列，并指出与的大小关系（不需要证明）；
（2）已知数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，若数列是“数列”，求的取值范围；
（3）已知数列是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由.

2 . 已知数列满足：，（）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）求证：．

3 . 已知数列满足：.
(1)证明：；
(2)求证：.

4 . 已知各项均为非负整数的数列，，，，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为，，，，0，，，．设，，1，．
（1）若数列，1，1，3，0，0，试写出数列；若数列，0，0，0，0，试写出数列；
（2）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；
（3）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，2，，，求证，其中表示不超过的最大整数．

5 . 已知数列的各项均为正数，，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：当取得最大值时，．

6 . 已知各项非零的数列，其前项的和为，满足．
(1)若，证明：；
(2)是否存在常数，使得是等差数列？若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．

7 . 已知数列满足，．
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求．

8 . 设数列满足，．
(1)证明：．
(2)设数列的前n项和为，证明：．

9 . 已知数列满足，.证明：
(1)；
(2)