1 . 已知数列满足，．
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求．

3 . 已知数列满足．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)证明：．

4 . 已知数列满足，，，表示数列的前项和
(1)求证：
(2)求使得成立的正整数的最大值

5 . 对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；
(2)设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.
(3)考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.

6 . 定义:在数列中,若存在正整数,使得,都有,则称数列为“型数列”.已知数列满足.
(1)证明:数列为“3型数列”;
(2)若,数列的通项公式为,求数列的前15项和.

7 . 已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.

8 . 记为数列的前n项积，已知，.
(1)证明：数列是等差数列.
(2)记，求数列的前n项和.

9 . 数列满足：或.对任意，都存在，使得，其中且两两不相等.
(1)若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①；②；③
(2)记.若，证明：；
(3)若，求的最小值.

10 . 已知数列中，，其前项和为，当时，.
(1)计算，，，；
(2)依据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.