1 . 已知数列满足，，其中是数列的前n项和.
（1）求和的值及数列的通项公式；
（2）设.
①若，求k的值；
②求证：数列（中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.

2 . 已知数列中，，前n项和为，且.
（1）求；
（2）证明数列为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中），使成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由.

3 . 设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.

4 . 设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）.
（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；
（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.

5 . 已知正项数列中，，点在抛物线上.数列中，点在经过点，以为方向向量的直线上.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）对任意的正整数，不等式成立，求正数的取值范围.

6 . 设个不全相等的正数，…，依次围成一个圆圈.
(1)设，且，…，是公差为的等差数列，而，…，是公比为的等比数列，数列，…，的前项和满足，求数列的通项公式；
(2)设，若数列，…，每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求；
(3)在（2）的条件下，，求符合条件的的个数.

7 . 已知是公差不为零的等差数列, 是等比数列,且,,.
(1)求数列,的通项公式；
(2)记,求数列的前项和；
(3)若满足不等式成立的恰有个,求正整数的值.

8 . 已知无穷数列的各项都不为零，其前项和为，且满足，数列满足，其中为正整数．
(1)求；
(2)若不等式对任意都成立，求首项的取值范围；
(3)若首项是正整数，则数列中的任意一项是否总可以表示为数列中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．

9 . 已知数列中，（是不等于的常数），为数列的前项和，若对任意的正整数都有.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）记，求数列的前项和；
（3）记，是否存在正整数，使得当时，恒有？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的值；若不存在，请说明理由．

10 . （1）已知公差不为的数列的首项，前项的和为，若数列是等差数列.
①求；
②令，若对一切，都有，求的取值范围．
（2）是否存在各项都是正整数的无穷数列，使对一切都成立，若存在，请写出数列的一个通项公式，若不存在，说明理由．