1 . 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．

2 . 设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为；
(3)求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值.

3 . 给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．
(1)求的通项公式；
(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

4 . 已知数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）设，记数列的前项和为，证明：.

5 . 已知数列的首项为1，记.
（1）若数列是公比为3的等比数列，求的值；
（2）若数列是公差为2的等差数列，①求证：；②求证：是关于的一次多项式.

6 . 已知数列中，，其前项和满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证： ；
（3）设(为非零整数，)，是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立.若存在求出的值，若不存在说明理由.

7 . 已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.

8 . 等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和的最大值.