1 . 现有枚硬币. 对于每个，硬币是有偏向的，即向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为.
(1)将这2枚硬币抛起，设落下时正面朝上的硬币个数为，求的分布列及数学期望；
(2)将这枚硬币抛起，求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率.

2 . 已知为非零常数，，若对，则称数列为数列．
(1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列；
(2)设，若为数列，证明：；
(3)若为数列，证明：，使得．

4 . 设数列的各项为互不相等的正整数，前项和为，称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“好”数列.
(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，并给出证明；
(2)已知数列为“好”数列，其前项和为.
①若，求数列的通项公式；
②若，且对任意给定的正整数，，有，，成等比数列，求证：.

5 . 已知数列和满足，，且.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围.

6 . 设正项数列的前n项和为，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，对任意，恒成立，求实数的取值范围．

7 . 已知为等差数列，前项和为，若.
(1)求；
(2)对任意的，将中落入区间内项的个数记为.
①求；
②记的前项和记为，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8 . 在正项等比数列中，.
(1)求的通项公式：
(2)已知函数，数列满足：.
（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式
（ii）设，证明：，

9 . 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数：第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．

(1)求第3行和第4行的通项公式和；
(2)一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
(3)若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有．

10 . 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．