2 . 已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)求证：；
(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．

3 . 已知等比数列的公比，，且，的等差中项等于．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：数列为等差数列．

4 . 若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质．

(1)判断数列是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；
(3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列．

5 . 已知数列A：a₁，a₂，…，a_N的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出的值；
②若数列A：1，3，x，y，且，，求数列A和集合T；
(2)若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．

6 . 记，为数列的前n项和，已知，．
(1)求，并证明是等差数列；
(2)求．

8 . 已知数列的首项为1，对任意的，定义.
(1)若，求；
(2)若，且.
（i）当时，求数列的前项的和；
（ii）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.

9 . 设和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最小的数．
(1)若，求的值；
(2)若，证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意实数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

10 . 记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．