1 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

2 . 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数，.

3 . （文）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.
（1）求证：；
（2）利用（1）的结论求解：“已知、，求”；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比为，前项和为.试类比问题（1）的结论，给出一个相应的结论并给出证明.并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列，其中，，求数列的前项和.”

4 . 已知是等差数列，其公差大于1，其前项和为是等比数列，公比为，已知.
(1)求和的通项公式；
(2)若正整数满足，求证：不能成等差数列；
(3)记，求的前项和.

5 . 记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.

6 . 已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．

7 . 已知数列的前项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若表示不超过的最大整数，，求实数的取值范围.

8 . 已知等差数列的前项和为，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.

9 . 已知是公差为2的等差数列，其前10项和为100；是公比大于0的等比数列，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记，，，．
①证明数列是等比数列：
②证明．

10 . 设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.