1 . 已知，是项数相同的数列．
(1)若数列是公差为d的等差数列，数列满足，证明数列是等比数列；
(2)若数列是公比为q的正项等比数列，数列满足，证明数列是等差数列．

2 . 已知数列的前项和为，且.
(1)求证；数列是等比数列；
(2)求证：.

3 . 甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．
(1)试用，表示，．
(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．

4 . 在数列中，，，且.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设为数列的前项和，是否存在互不相等的正整数满足，且，，成等比数列?若存在，求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

5 . 设数列的首项为常数，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求数列的通项及前项的和；
(3)若是严格增数列，求的取值范围.

6 . 已知数列、满足，，，，且，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若是递增数列，求实数的取值范围.

7 . 已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．

8 . 已知数列的首项，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式.

9 . 已知数列中，，.证明：数列是等比数列；

10 . 在数列中，，数列的前项和为．
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求．