1 . 已知数列的首项，前n项和为，且．设．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．

2 . 数列中，，，且是以3为公比的等比数列，记．
(1)求、、、的值；
(2)求证：是等比数列．

3 . 已知，是项数相同的数列．
(1)若数列是公差为d的等差数列，数列满足，证明数列是等比数列；
(2)若数列是公比为q的正项等比数列，数列满足，证明数列是等差数列．

4 . 设数列的首项为常数，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求数列的通项及前项的和；
(3)若是严格增数列，求的取值范围.

5 . 甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．
(1)试用，表示，．
(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．

6 . 已知数列的首项，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式.

7 . 已知数列满足，
(1)计算的值；
(2)令，求证：数列是等比数列；
(3)设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．

8 . 等差数列的前项和是，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和是，求证：数列是等比数列，并求．

9 . 已知数列的前项和为，且.在数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：是等比数列.

10 . 设数列的前项和为，且与的等差中项为.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，证明：.