1 . 在等差数列中，，．令，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前项和；
（3）是否存在正整数，（ ）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知一组双曲线，设直线与在第一象限的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为点，.记的面积为，则数列前项和为________.

3 . 已知数列的前项和为，且，，则数列的前100项之和为
________.

4 . 已知函数，为自然对数的底数．
（1）求的单调区间；
（2）证明：，；
（3）当时，求证：．

5 . 若实数集对于，均有，则称具有“伯努利型关系”.
(1)若集合，试判断是否具有“伯努利型关系”;
(2)设集合，若具有“伯努利型关系”，求非负实数的取值范围；
(3)当时，证明:.

6 . 已知数列的前项和为，且满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.

7 . 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（       ）

A．2025

B．2026

C．2023

D．2024

8 . 若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系.
(1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系；
(2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围；
(3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：.

9 . 用表示不超过x的最大整数，例如，，．已知数列满足，，则______.

10 . 已知数列满足且．
(1)用数学归纳法证明：；
(2)已知不等式对成立，求证：．
(3)已知不等式对成立，证明：，其中无理数．