1 . 已知函数，满足.
(1)设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数；
(2)设.
①当时，求的最小值；
②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.

2 . 已知正整数集合,对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有,则称集合具有性质.记是集合中的最大值.
(1)判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；
(2)若集合具有性质，求证：；
(3)若集合具有性质，求的最大值.

3 . 已知，且．
(1)求证：；
(2)求的最大值．

4 . 已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；
(2)已知，小明同学判断添加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于，判断是否正确，并说明理由.（）

5 . 已知数列满足，．
(1)求证：；
(2)设数列的前项和为，求证：当时，．

6 . 如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G．

(1)证明：的周长为定值．
(2)求的面积S的最大值．

7 . 设非负实数满足，求证：

8 . 已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，与轴交于点，为坐标原点.
(1)证明：；
(2)若，求面积取得最大值时椭圆的方程.

9 . 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.

10 . 已知函数，其中．
(1)当时，若点P为函数图像上的任意一点，求P点处切线斜率的最大值；
(2)若函数在区间上单调递增．
①求实数a的取值范围；
②证明：，．