1 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.

(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论.

3 . 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是边的中点．平面平面，．

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的具体位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

5 . 已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．

   

(1)当为中点时，证明：平面；
(2)若平面，求的最大值及此时的长．

6 . 如图甲，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图乙所示的三棱锥.
   
(1)证明：；
(2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

7 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
(1)①若，求；
②证明：.
(2)记的面积为，证明：；
(3)问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？

8 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，点，，，分别在侧棱，，，上，且，，，

(1)证明：，，，四点共面；
(2)如果，，为的中点，求二面角的正弦值．

9 . 如图1，在四边形中，，，，将沿着折叠，使得（如图2），过D作，交于点E．

(1)证明：；
(2)求；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．

10 . 如图，在长方体中，，，M为的中点．

(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．