1 . 已知是圆的直径，且长为4，是圆上异于的一点，点到的距离均为，设二面角与二面角的大小分别为．
   
(1)求的值；
(2)若，求二面角的正弦值．

2 . 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，点在线段上，且，点为中点．

   

(1)求证：平面；
(2)设二面角为，若，求四面体的体积最大值．

3 . 在如图所示的六面体中，矩形平面，为直角梯形，，，．设为中点．

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．

4 . 在①；②四边形ABCD的面积为24；③四边形的周长为20；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，
如图，四边形是圆柱的一个轴截面，，且__________．

(1)求该圆柱的体积：
(2)若用一细绳从点A绕圆柱一周后到达D处（如图），求细绳的最短长度．

5 . 如图1，在等腰梯形中，，，，．将与分别沿，折起，使得点、重合（记为点），形成图2，且是等腰直角三角形．

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若，求四棱锥的体积．

6 . 如图，在三棱锥中， ，为的中点，.

(1)证明：平面平面;
(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.

7 . 如图所示，在斜三棱柱中，点、分别是和的中点.

（1）证明：平面；
（2）若三棱柱的体积为16，点、、分别是、、上的点，且，，，求三棱锥的体积.

8 . 如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交与点，点是上的一个动点.

（1）若平面，求的值；
（2）若点为的中点，且，求三棱锥的体积.

9 . 如图，在棱长为4的正方体中，设E是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

10 . 已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点．

（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．