名校
解题方法
1 . 如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形
的三边长为
，
，
，三个角大小为
，
，
，球的半径为
.
(2)①求球面三角形的面积
（用，，，表示）.
②证明：
.
的三边长为，，，三个角大小为，，，球的半径为.
(2)①求球面三角形
的面积（用，，，表示）.②证明：
.
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2023-04-21更新
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376次组卷
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4卷引用：浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题江苏省徐州市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）13.3 空间图形的表面积和体积（分层练习）（已下线）11.1.5 旋转体-【帮课堂】（人教B版2019必修第四册）
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2 . 如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
分别为
的中点，
为线段
上一点，且
．
平面
；
(2)若四棱锥为正四棱锥，且
，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比．
中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且．
平面；(2)若四棱锥
为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比．
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3 . 如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的中点.
平面
.
(2)若以
为直径的球的表面积为
，求二面角
的余弦值.
中，，，为的中点.
平面.(2)若以
为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.
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2024-04-20更新
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1384次组卷
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3卷引用：江西省赣州市十八县（市）二十四校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
解题方法
4 . 如图，在三棱锥
中，平面
平面BCD，
，
，H为BD的中点，
，
．
(1)求证：
；
(2)求异面直线BC与AD所成角的大小．
(3)若
，求三棱锥外接球的体积．
中，平面平面BCD，，，H为BD的中点，，． (1)求证：
；(2)求异面直线BC与AD所成角的大小．
(3)若
，求三棱锥外接球的体积．
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5 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的一个菱形，若
，异面直线
与
所成的角为
．
(1)求证：平面
平面；
(2)求四棱倠的内切球的表面积．
中，底面是边长为2的一个菱形，若，异面直线与所成的角为． (1)求证：平面
平面；(2)求四棱倠
的内切球的表面积．
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6 . 在
中，角
的对边分别是
，若
，
．
(1)证明：是正三角形．
(2)若的三顶点都在球O表面，且球O的表面积为
，求三棱锥
的体积．
中，角的对边分别是，若，．(1)证明：
是正三角形．(2)若
的三顶点都在球O表面，且球O的表面积为，求三棱锥的体积．
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7 . 沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.
(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；
(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.
(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；
(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.
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解题方法
8 . 三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥中，
两两垂直.
(1)设直三棱锥外接球的半径为，证明：
；
(2)若直三棱锥外接球的表面积为
，求
的最大值.
中，两两垂直.(1)设直三棱锥
外接球的半径为，证明：；(2)若直三棱锥
外接球的表面积为，求的最大值.
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9 . 在中，、、分别为内角
、
、
的对边，且
，分别以
、
、
所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成
个几何体，其体积分别记为
、
、
．
(1)求证：
；
(2)求以所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．
中，、、分别为内角、、的对边，且，分别以、、所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成个几何体，其体积分别记为、、．(1)求证：
；(2)求以
所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．
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21-22高一下·浙江·期中
名校
10 . 在直三棱柱中，
，
，
，D是AB的中点．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求证：
∥平面
；
(3)求三棱柱的外接球的表面积．
中，，，，D是AB的中点．(1)求三棱锥
的体积；(2)求证：
∥平面；(3)求三棱柱
的外接球的表面积．
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2022-09-29更新
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1443次组卷
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3卷引用：高中数学 高一下-7
