名校
1 . 如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的中点.
平面
.
(2)若以
为直径的球的表面积为
，求二面角
的余弦值.
中，，，为的中点.
平面.(2)若以
为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.
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2024-04-20更新
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1384次组卷
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3卷引用：四川省雅安市2024届高三下学期4月联考数学（理）试题
2 . 如图，在长方体
中，E，F分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)若
，
，长方体外接球的表面积为
，求平面与平面
夹角的余弦值.
中，E，F分别为，的中点.(1)证明：
平面.(2)若
，，长方体外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.
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名校
3 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为
，母线长为
.
(1)当
，
时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
(2)如图，当，
时，平面
与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线
，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点
，
，若点
为曲线上任意一点，求证：
为定值；
(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球
个，求的最大值
.
，母线长为. (1)当
，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）(2)如图，当
，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球个，求的最大值.
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2023-10-22更新
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539次组卷
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4卷引用：上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题六 空间定值问题 微点1 立体几何中的定值问题综述及定长、定距问题【培优版】（已下线）第四章 立体几何解题通法 专题一 降维法 微点4 降维法综合训练【基础版】
解题方法
4 . 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（
）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为
，则（ ）
）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（ ）A． | B． |
C．当 时， | D．当 时， |
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2024-01-26更新
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629次组卷
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5卷引用：河北省石家庄二中润德中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
河北省石家庄二中润德中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题云南省大理州祥云县部分高中（云·上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点4 四面体体积公式拓展综合训练【培优版】（已下线）专题6 立体几何与数学文化【讲】
名校
5 . 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球），阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．亦可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比．若已知该比值为
的圆锥，其母线长为，底面半径为，轴截面如图所示，则（ ）
的圆锥，其母线长为，底面半径为，轴截面如图所示，则（ ） A．若 ，则 |
B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 |
C．用过顶点 的平面去截圆锥，则所得的截面图形可以为直角三角形 |
D．若一只小蚂蚁从 点出发，沿着圆锥的侧面爬行一周到达 点，则爬行最短距离为 |
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2023-06-13更新
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381次组卷
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3卷引用：山东省滨州市部分校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
山东省滨州市部分校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题山东省滨州市邹平市第一中学2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题二 空间图形的展开与最短路径问题 微点2 空间最短路径问题（二）【基础版】
名校
6 . 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，
是底面的内接正三角形，P为DO上一点，
．
(1)证明：平面
平面PAC；
(2)设
，圆锥的侧面积为
，求三棱锥
的内切球的表面积．
是底面的内接正三角形，P为DO上一点，． (1)证明：平面
平面PAC；(2)设
，圆锥的侧面积为，求三棱锥的内切球的表面积．
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解题方法
7 . 如图，在直三棱柱中，，，D为的中点.
平面.
(2)若以为直径的球的表面积为，求三棱锥
的体积.
中，，，D为的中点.
平面.(2)若以
为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积.
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名校
8 . 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有“鳖臑”，其中
平面
，
，过分别作
，
分别为垂足．
(1)求证：四面体
也是“鳖臑”；
(2)记“鳖臑”，四棱为
，“鳖臑”的外接球的表面积分别为
，试比较
与
的大小，并说明理由．
，其中平面，，过分别作，分别为垂足．(1)求证：四面体
也是“鳖臑”；(2)记“鳖臑”
，四棱为，“鳖臑”的外接球的表面积分别为，试比较与的大小，并说明理由．
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名校
9 . 为了求一个棱长为
的正四面体体积，小明同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体
为棱长是的正四面体，且有
.学以致用：
(1)如图2，一个四面体三组对棱长分别为
，2，
，求此四面体外接球表面积；
(2)若四面体ABCD每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形.
的正四面体体积，小明同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.学以致用：(1)如图2，一个四面体三组对棱长分别为
，2，，求此四面体外接球表面积；(2)若四面体ABCD每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形.
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名校
10 . 已知等边△
边长为，△BCD中，BD=CD=1，BC=(如图1所示)，现将B与
，C与
重合，将△向上折起，使得AD=(如图2所示).
(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成
角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；
(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.
边长为，△BCD中，BD=CD=1，BC=(如图1所示)，现将B与，C与重合，将△向上折起，使得AD=(如图2所示).(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成
角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.
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