名校
解题方法
1 . 如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形
的三边长为
，
，
，三个角大小为
，
，
，球的半径为
.
(2)①求球面三角形的面积
（用，，，表示）.
②证明：
.
的三边长为，，，三个角大小为，，，球的半径为.
(2)①求球面三角形
的面积（用，，，表示）.②证明：
.
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2023-04-21更新
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376次组卷
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4卷引用：13.3 空间图形的表面积和体积（分层练习）
（已下线）13.3 空间图形的表面积和体积（分层练习）（已下线）11.1.5 旋转体-【帮课堂】（人教B版2019必修第四册）浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题江苏省徐州市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
2024高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 设四面体的内切球半径为，各顶点到对面的距离分别为
，求证
．
，各顶点到对面的距离分别为，求证．
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3 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为
.
(1)当
，
时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
(2)如图，当，
时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线
，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点
，
，若点
为曲线上任意一点，求证：
为定值；
(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球
个，求的最大值
.
，母线长为. (1)当
，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）(2)如图，当
，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球个，求的最大值.
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2023-10-22更新
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539次组卷
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4卷引用：第二章 立体几何中的计算 专题六 空间定值问题 微点1 立体几何中的定值问题综述及定长、定距问题【培优版】
（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题六 空间定值问题 微点1 立体几何中的定值问题综述及定长、定距问题【培优版】（已下线）第四章 立体几何解题通法 专题一 降维法 微点4 降维法综合训练【基础版】上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
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解题方法
4 . 已知球内接正四棱锥
的高为
，
、
相交于
，球的表面积为
，若
为
中点.
平面
；
(2)求三棱锥
的体积.
的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.
平面；(2)求三棱锥
的体积.
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2024-04-14更新
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925次组卷
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3卷引用：专题3.9 立体中的外接球和内切球-重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）
（已下线）专题3.9 立体中的外接球和内切球-重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟（二）数学（文科）试题四川省雅安市神州天立学校2024届高三高考适应性考试（三）数学（文）试题
2024高三·全国·专题练习
解题方法
5 . 半径为的球的球心为
为球外一动点．以为球心，
为半径作球．求证球在球内部的那部分球冠的面积为定值．(假设球面的半径是
，球冠的高是
，那么球冠的表面积公式为：
）
的球的球心为为球外一动点．以为球心，为半径作球．求证球在球内部的那部分球冠的面积为定值．(假设球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积公式为：）
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6 . 如图，在三棱柱
中，
，
，
平面
．
平面
；
(2)若点在棱
上，当
的面积最小时，求三棱锥
外接球的体积．
中，，，平面．
平面；(2)若点
在棱上，当的面积最小时，求三棱锥外接球的体积．
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解题方法
7 . 已知E，F分别为
的重心和外心，D是BC的中点，
，
．
(1)求BE；
(2)如图，P为平面ABC外一点，
平面ABC，二面角
的正切值为4．
①求证：
；
②求三棱锥
的外接球的体积．
的重心和外心，D是BC的中点，，． (1)求BE；
(2)如图，P为平面ABC外一点，
平面ABC，二面角的正切值为4．①求证：
；②求三棱锥
的外接球的体积．
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8 . 我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体
中，已知
，
.
(1)求证：四棱锥
是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；
(2)求该“阳马”的外接球的表面积.
中，已知，.(1)求证：四棱锥
是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；(2)求该“阳马”
的外接球的表面积.
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9 . 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知四面体是“鳖臑”，
，
，
，
分别为，的中点，
在线段
上，且
.
平面
；
(2)求四面体内切球的表面积.
是“鳖臑”，，，，分别为，的中点，在线段上，且.
平面；(2)求四面体
内切球的表面积.
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2023-06-27更新
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669次组卷
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6卷引用：压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式）讲
（已下线）压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间面积的计算 微点1 空间面积的计算【基础版】（已下线）高一下学期期中复习解答题压轴题十八大题型专练（2）-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）【江苏专用】专题11立体几何与空间向量(第二部分)-高一下学期名校期末好题汇编江苏省盐城市2022-2023学年高一下学期期末数学试题广东省珠海东方外语实验学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
10 . 如图，在三棱锥中，平面
平面，
．
(1)求三棱锥外接球的表面积；
(2)设D为侧棱上一点，若二面角
的大小为
，证明：
．
中，平面平面，．(1)求三棱锥
外接球的表面积；(2)设D为侧棱
上一点，若二面角的大小为，证明：．
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