1 . 如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，，，.

(1)当P为B₁C的中点时，求证：A₁B₁平面APC₁；
(2)试在线段B₁C上找一点P（异于B₁，C点），使得，并证明你的结论；
(3)当时，求多面体A₁B₁C₁PA的体积.

2 . 已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

   

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.

3 . 如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，．.
   
(1)已知点为的中点，求证：平面；
(2)求多面体的体积．

4 . 如图，在直三棱柱中，，，为的中点.

(1)证明：平面.
(2)若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.

5 . 已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．

   

(1)求证：MN⊥平面；
(2)求此多面体体积V的最大值．

7 . 已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，和的夹角为.

(1)证明：四面体的体积为定值；
(2)已知异于、两点的动点，且、、、、均在半径为的球面上.求点到直线的距离的取值范围.

8 . 如图，多面体ABCDE中，平面ABC，平面平面ABC，是边长为2的等边三角形，，AE=2．
   
(1)证明：平面平面BCD；
(2)求多面体ABCDE的体积．

9 . 多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，．

(1)求证：平面平面DEF；
(2)求该多面体的体积．

10 . 在直三棱柱中，，，，D是AB的中点．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：∥平面；
(3)求三棱柱的外接球的表面积．