1 . 设四面体的内切球半径为，各顶点到对面的距离分别为，求证．

2 . 如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，，H为BD的中点，，．
   
(1)求证：；
(2)求异面直线BC与AD所成角的大小．
(3)若，求三棱锥外接球的体积．

4 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为.
   
(1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
(2)如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；
(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值.

5 . 如图，在三棱柱中，，，平面．
   
(1)求证：平面；
(2)若点在棱上，当的面积最小时，求三棱锥外接球的体积．

7 . 在中，、、分别为内角、、的对边，且，分别以、、所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成个几何体，其体积分别记为、、．
(1)求证：；
(2)求以所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．

8 . 如图，在中，，斜边，现将绕AC旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球O与CD的切点，为圆锥底面圆周上异于B，D的一点．

(1)求内切球O的体积；
(2)求证：平面．

9 . 三个球的半径的比是1∶2∶3.求证：其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍.

10 . 如图，在正三棱锥中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.