1 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆过点，直线与椭圆相交于，两点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若不过原点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)若，求面积的取值范围．

2 . 已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．直线l过圆的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线的斜率．

5 . 已知为坐标原点，椭圆的上焦点是抛物线的焦点，过焦点与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆于两点，且，过点的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点，记的面积为的面积为，求的取值范围．

6 . P为圆上一动点，点B的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q．

(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为和，M、N为曲线C上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线与直线相交于点T，直线与直线相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得的面积为定值，并求该定值．

7 . 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8

(1)求椭圆C的方程;
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.
②求面积的最大值.

8 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(3)经过点，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值；
(3)若点为圆上的动点，点，求的最小值．

10 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆的圆心．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．