1 . 如图，已知圆：经过椭圆（）的右焦点及上顶点，过椭圆外一点（）且斜率为的直线交于椭圆、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的值.

2 . 已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，若面积为，求直线的方程.

3 . 如图，椭圆，点在短轴上，且.

(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆（a>b>0）的两个焦点分别为 ，离心率为，过 的直线l与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．

5 . 如图，设是椭圆的左焦点，直线为其左准线，直线与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且．


（1）求椭圆C的标准方程；       
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

6 . 已知椭圆C的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为，．
（1）若为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为4，过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．

7 . 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.
（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.

8 . 已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，且满足，，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：的面积为定值．

9 . 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

10 . 如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.