2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 已知椭圆
的离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若
为坐标原点，斜率存在的直线
与椭圆交于
两点，当
的面积最大时，求直线
与直线
的斜率之积．
的离心率为，且过点．(1)求椭圆
的标准方程；(2)若
为坐标原点，斜率存在的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线与直线的斜率之积．
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2 . 已知椭圆
的左、右焦点为
为椭圆上一点，
的面积的最大值为4，直线
与椭圆交于
两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点
，设直线
和
的斜率分别为
，若
，求
的面积的最大值．
的左、右焦点为为椭圆上一点，的面积的最大值为4，直线与椭圆交于两点．(1)求椭圆
的标准方程；(2)点
，设直线和的斜率分别为，若，求的面积的最大值．
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解题方法
3 . 已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点
，过点M且斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，当
时，求m的值.
的离心率为，短轴长为.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点
，过点M且斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，当时，求m的值.
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4 . 已知椭圆的离心率为，点
为椭圆的左焦点，点
为椭圆的上顶点，且
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点
为直线
上一动点，
为椭圆的左、右顶点，直线
分别交椭圆于
两点．试问：直线
是否过定点？若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．
的离心率为，点为椭圆的左焦点，点为椭圆的上顶点，且．(1)求椭圆
的标准方程；(2)点
为直线上一动点，为椭圆的左、右顶点，直线分别交椭圆于两点．试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．
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解题方法
5 . 已知椭圆C：
的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的
倍，且椭圆过点
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F的直线l与C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角.若点到直线l的距离为
，求直线PM与直线PN的斜率之和.
的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点.(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F的直线l与C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角.若点
到直线l的距离为，求直线PM与直线PN的斜率之和.
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6 . 已知点
是椭圆
上在第一象限内的一点，A，B分别为椭圆
的左、右顶点．
(1)若点的坐标为
，的面积为1．
（i）求椭圆的方程；
（ii）若抛物线
的焦点与椭圆的右焦点重合，直线
与交于C，D两点，与
交于E，G两点，若
，求实数
的值．
(2)若椭圆的短轴长为2，直线AQ，BQ与直线
分别交于M，N两点，若
与的面积之比的最小值为
，求此时点的坐标．
是椭圆上在第一象限内的一点，A，B分别为椭圆的左、右顶点．(1)若点
的坐标为，的面积为1．（i）求椭圆
的方程；（ii）若抛物线
的焦点与椭圆的右焦点重合，直线与交于C，D两点，与交于E，G两点，若，求实数的值．(2)若椭圆
的短轴长为2，直线AQ，BQ与直线分别交于M，N两点，若与的面积之比的最小值为，求此时点的坐标．
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解题方法
7 . 设椭圆
的离心率等于，拋物线
的焦点是椭圆
的一个顶点，
分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)动点
为椭圆上异于的两点，设直线
的斜率分别为，且
，求证：直线经过定点.
的离心率等于，拋物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.(1)求椭圆
的方程；(2)动点
为椭圆上异于的两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线经过定点.
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8 . 已知椭圆
的离心率为
且过点
(1)求的方程；
(2)若点
在上，在下面两个问题中选择一个，并作答．
①若
证明直线
经过定点．
②若直线
的倾斜角互补，证明直线的斜率为定值．
的离心率为且过点(1)求
的方程；(2)若点
在上，在下面两个问题中选择一个，并作答．①若
证明直线经过定点．②若直线
的倾斜角互补，证明直线的斜率为定值．
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解题方法
9 . 已知椭圆
的左焦点为F，P，Q分别为左顶点和上顶点，O为坐标原点，
（
为椭圆的离心率），
的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线
与椭圆交于两点，过作直线
的垂线，垂足分别为、
，点
为线段的中点．求证：四边形
为梯形.
的左焦点为F，P，Q分别为左顶点和上顶点，O为坐标原点，（为椭圆的离心率），的面积为．(1)求椭圆
的方程；(2)直线
与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点．求证：四边形为梯形.
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解题方法
10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为
，离心率为，过点
的动直线交于A，B两点，点
在
轴上方，且不与轴垂直，
的周长为
，直线
与交于另一点，直线
与交于另一点
，点
为椭圆的下顶点，如图①.为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面
平面
，求异面直线
与
所成角的余弦值；
(2)若过
作
，垂足为
.
（i）证明:直线
过定点；
（ii）求
的最大值.
的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若过
作，垂足为.（i）证明:直线
过定点；（ii）求
的最大值.
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