1 . 已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．

2 . 已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为，
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）坐标轴为对称轴，并且经过两点 和；
（2）.

4 . 已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．   
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．

5 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.

6 . 已知椭圆过点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于A、B两点，求.

7 . 一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上一点，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，则椭圆方程为____．

8 . 椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线，分别交直线于点，，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．

9 . 已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

10 . 已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的、两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、.试探究与的关系，并证明你的结论.