1 . 已知双曲线过点，左右焦点分别为，且．
(1)求的标准方程．
(2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则
①的取值范围是________；
②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是________．

3 . 已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

4 . 已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.

5 . 与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（       ）

A．	B．
C．	D．

6 . 已知双曲线的焦距为，点在上．
(1)求的方程；
(2)，分别为的左、右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为，，若直线、互相垂直，求周长的最大值．

7 . 已知双曲线C：，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q，P，且，求证：是定值．

8 . 如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为____________．
   

9 . 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.

10 . 已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.