1 . 已知椭圆
(1)若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

2 . 已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形．

(1)写出椭圆的标准方程；
(2)当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
(3)设点R满足：，．求证：与的面积之比为定值

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值；
(3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．

4 . 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，上顶点为，设是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．

(1)求椭圆的方程.
(2)求点到椭圆上点的距离的最大值；
(3)求的最小值．

7 . 已知椭圆：的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线l与E交于，两点（异于点），设直线与的斜率分别为，．
(1)若直线l的斜率为，求的面积；
(2)求的值．

8 . 已知、，点满足．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记动点轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值．

9 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

10 . 如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点.

(1)求以为圆心，短轴长为半径的圆的标准方程；
(2)判断直线与斜率之和是否为常数，若成立，求出常数值；否则说明理由；
(3)求面积的最大值.