1 . 已知双曲线的两条渐近线方程为，且左焦点到一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于、两点，且，若点满足，证明：在一条定直线上．

2 . 已知双曲线与直线有唯一的公共点．
(1)点在直线l上，求直线l的方程；
(2)设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心．
①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由．
②求的取值范围．

3 . 以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线切于点．
(1)求双曲线的离心率及方程；
(2)点分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点作一条斜率为的直线，与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，．求的值．

4 . 已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.
(1)求曲线的方程；
(2)求斜率的取值范围；
(3)在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.

5 . 已知双曲线: 过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；