1 . 已知双曲线的焦距为，点在上.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：直线过点.

2 . 在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点．当与轴垂直时，面积为12．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当与轴不垂直时，作线段的中垂线，交轴于点．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

3 . 双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知点是等轴双曲线的左右顶点，且点是双曲线上异于一点，，则_____________．

5 . 在平面直角坐标系中，双曲线的实轴长为4，渐近线方程为．
(1)求双曲线H的标准方程；
(2)过点作直线交双曲线H左右两支于两点（异于顶点），点A关于x轴的对称点为E，证明直线过定点Q；
(3)过双曲线H上任意不同的两点分别作双曲线H的切线，若两条切线相交于点M，且，在第（2）的条件下，求的最大值及此时点M的坐标．

6 . 已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于两点，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，过点的直线与双曲线交于两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知双曲线的离心率为，过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与交于两点均在轴上方），点在线段上，且满足．证明：在定直线上．

8 . 已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切．
(1)求双曲线M的标准方程；
(2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由．

9 . 已知双曲线经过点，直线是双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)设圆上一动点处的切线交双曲线于两点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

10 . 已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.