1 . 已知点P为双曲线上任意一点,过点的切线交双曲线的渐近线于两点.
(1)证明:恰为的中点;
(2)过点分别作渐近线的平行线,与OA、OB分别交于M、N两点,判断PMON的面积是否为定值,如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由;
(1)证明:恰为的中点;
(2)过点分别作渐近线的平行线,与OA、OB分别交于M、N两点,判断PMON的面积是否为定值,如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由;
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2 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线,都有令人惊奇的光学性质,且这些光学性质都与它们的焦点有关.如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上,经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点(如图所示,其中是反射镜面也是过点处的切线).已知双曲线(,)的左右焦点分别为,,从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处(点P在第一象限),经双曲线反射后过点.
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
(1)请根据双曲线的光学性质,解决下列问题:
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
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解题方法
3 . 已知双曲线的中心为坐标原点,其右焦点到渐近线的距离为,离心率为,
(1)求双曲线的标准方程;
(2)记双曲线的左、右顶点分别为,点为双曲线的右支上异于点的动点,直线与直线相交于点,直线与双曲线的另一个交点为,直线垂直于点,问是否存在点,使得为定值?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由,
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4 . 已知双曲线:(,)的右顶点,斜率为1的直线交于、两点,且中点.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交,交点为,,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交,交点为,,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
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2024-03-01更新
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2123次组卷
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3卷引用:东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题
5 . 已知双曲线,点,经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B,过点A,B分别作双曲线C的切线,两切线交于点E.(二次曲线在曲线上某点处的切线方程为)
(1)求证:点E恒在一条定直线L上;
(2)若两直线与L交于点N,,求的值;
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上,过点A、B分别做直线L的垂线,垂足分别为P、Q,记,,的面积分别为,问:是否存在常数m,使得?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(1)求证:点E恒在一条定直线L上;
(2)若两直线与L交于点N,,求的值;
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上,过点A、B分别做直线L的垂线,垂足分别为P、Q,记,,的面积分别为,问:是否存在常数m,使得?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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2024-02-05更新
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1120次组卷
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2卷引用:辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末数学试题
解题方法
6 . 已知双曲线:的右焦点为,渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设为双曲线的右顶点,直线与双曲线交于不同于的,两点,若以为直径的圆经过点,且于点,证明:存在定点,使为定值.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设为双曲线的右顶点,直线与双曲线交于不同于的,两点,若以为直径的圆经过点,且于点,证明:存在定点,使为定值.
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7 . 双曲线和的方程均满足,其中的焦点在轴上,顺次连接的两个焦点和的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形.
(1)求双曲线和的方程.
(2)若为左支上一动点且不在轴上,过作的切线交于两点,过作的平行线交于,顺次连接四点构成四边形,求证:四边形的面积为定值.
(1)求双曲线和的方程.
(2)若为左支上一动点且不在轴上,过作的切线交于两点,过作的平行线交于,顺次连接四点构成四边形,求证:四边形的面积为定值.
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8 . 在平面直角坐标系内,已知定点,定直线,动点P到点F和直线l的距离的比值为,记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程.
(2)以曲线E上一动点M为切点作E的切线,若直线与直线l交于点N,试探究以线段MN为直径的圆是否过x轴上的定点.若过定点.求出该定点坐标;若不过,请说明理由.
(1)求曲线E的方程.
(2)以曲线E上一动点M为切点作E的切线,若直线与直线l交于点N,试探究以线段MN为直径的圆是否过x轴上的定点.若过定点.求出该定点坐标;若不过,请说明理由.
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2024-01-10更新
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564次组卷
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3卷引用:辽宁省辽阳市2024届高三上学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 已知双曲线C:(,)的右顶点为A,左焦点为F,过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直,垂足为N,且.
(1)求C的方程.
(2)过点的直线交C于,两点,直线AP,AQ分别交y轴于点G,H,试问在x轴上是否存在定点T,使得?若存在,求点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求C的方程.
(2)过点的直线交C于,两点,直线AP,AQ分别交y轴于点G,H,试问在x轴上是否存在定点T,使得?若存在,求点T的坐标;若不存在,请说明理由.
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2024-01-04更新
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1074次组卷
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5卷引用:辽宁省辽阳市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷
名校
解题方法
10 . 已知双曲线C:过点,右焦点F为,左顶点为A
(1)求双曲线C的方程
(2)动直线交双曲线C于M,N两点,求证:的垂心在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程
(2)动直线交双曲线C于M,N两点,求证:的垂心在双曲线C上.
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2023-12-30更新
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595次组卷
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2卷引用:辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题