1 . 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知抛物线E：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点.
(1)求面积的最小值；
(2)设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴.

3 . 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.
（1）若过点，抛物线在点处的切线与在点处的切线交于点.证明：点在定直线上.
（2）若，点在曲线上，的中点均在抛物线上，求面积的取值范围.

4 . 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．
（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；
（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．

5 . 已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点.
(1)证明：直线和的斜率之积为定值；
(2)求证：点在一条定直线上.

6 . 已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

7 . 已知抛物线C：的焦点为F，直线与轴的交点为P，与C的交点为Q，且．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）点在抛物线C上，是否存在直线与C交于点，使得△ 是以为斜边的直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．

8 . 过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，过M作AB的垂直平分线交x轴于N．
（1）求证：；
（2）过A，B的抛物线的切线相交于P，求P的轨迹方程．