2023·山东烟台·二模
1 . 在平面直角坐标系
中，P，Q是抛物线
上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线
与l的斜率乘积为
．
(1)求证：直线
过定点，并求此定点D的坐标；(2)过M作l的垂线交椭圆
于A，B两点，过D作l的平行线交直线
于H，记
的面积为S，
的面积为T．①当
取最大值时，求点P的纵坐标；
②证明：存在定点G，使
为定值．
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2023-05-08更新
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930次组卷
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5卷引用：高二上学期期中复习【第三章 圆锥曲线的方程】十二大题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）
（已下线）高二上学期期中复习【第三章 圆锥曲线的方程】十二大题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）通关练17 抛物线8考点精练（3）山东省烟台市2023届高考适应性练习（一)数学试题山东省枣庄市2023届高三三模数学试题湖南省株洲市第二中学2022届高三下学期第三次月考数学试题
21-22高二上·浙江嘉兴·阶段练习
解题方法
2 . 已知椭圆
的焦距为8，且椭圆经过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)如图，过点
的直线
与椭圆交于
两点，试问直线
上是否存在一点
，使
为正三角形，若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，请说明理由.
的焦距为8，且椭圆经过点.(1)求椭圆
的标准方程；(2)如图，过点
的直线与椭圆交于两点，试问直线上是否存在一点，使为正三角形，若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，请说明理由.
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2023-05-06更新
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654次组卷
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4卷引用：专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)
（已下线）专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)浙江省杭州市临安区2018-2019学年高二上学期期末数学试题（已下线）第28讲 圆锥曲线存在性问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）浙江省嘉兴一中实验学校2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题
22-23高二下·山东青岛·期中
解题方法
3 . 中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点
，
距离之积等于
的动点的轨迹称为伯努利双纽线，
，
为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线
是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点，的坐标；
(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线.(1)求曲线C的焦点
，的坐标；(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
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2023-05-04更新
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581次组卷
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3卷引用：第三篇 以学科融合为新情景情境2 跨不同学科融合
名校
解题方法
4 . 如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为
，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为
的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．
(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得
(其中
，
为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得
(其中，为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
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2023-05-02更新
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793次组卷
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4卷引用：陕西省西安市长安区第一中学2023届高三二模数学试题
陕西省西安市长安区第一中学2023届高三二模数学试题福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题（已下线）重难专攻(十)圆锥曲线中的定点问题 B卷素养提升卷（已下线）重难点突破11 圆锥曲线存在性问题的探究（五大题型）
2023·全国·模拟预测
解题方法
5 . 已知椭圆的离心率为
，左、右焦点分别为，，且
.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线
与椭圆交于两点，证明：在
轴上存在定点
，使得直线
，
关于轴对称.
的离心率为，左、右焦点分别为，，且.(1)求椭圆
的方程；(2)已知直线
与椭圆交于两点，证明：在轴上存在定点，使得直线，关于轴对称.
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解题方法
6 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为，，点A在C上，当
轴时，
；当
时，
.
(1)求C的方程；
(2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线
交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点
．若
，是否存在到直线l的距离
的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.
的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，.(1)求C的方程；
(2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线
交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.
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2023-04-27更新
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1254次组卷
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3卷引用：2023年高三黑白卷数学试卷（新高考）（白卷）
22-23高二上·江苏盐城·期末
名校
解题方法
7 . 已知椭圆C：
的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且
面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作两条直线
和
，与C交于点A，B，与C交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，设直线和的斜率分别为
，
，
①若
，求证：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；
②若
，过点作
，垂足为H．试问：是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值．
的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点
作两条直线和，与C交于点A，B，与C交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，设直线和的斜率分别为，，①若
，求证：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；②若
，过点作，垂足为H．试问：是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值．
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2023·全国·模拟预测
解题方法
8 . 已知直线
，
，动点A，B分别在直线，上，
，P是线段AB的中点，记点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程．
(2)若直线
与E相交于M，N两点，在y轴上是否存在点C，使得
为正三角形？若存在，求出l的方程及点C的坐标；若不存在，请说明理由．
，，动点A，B分别在直线，上，，P是线段AB的中点，记点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程．
(2)若直线
与E相交于M，N两点，在y轴上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出l的方程及点C的坐标；若不存在，请说明理由．
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2023·新疆·二模
9 . 已知，是椭圆C：的左、右焦点，点
是C上一点，
的中点在y轴上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆
上一点
的切线方程为
．设动直线l：
与椭圆C相切于点P，且与直线
相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点F，使得以PQ为直径的圆恒过点F？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆
上一点的切线方程为．设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点F，使得以PQ为直径的圆恒过点F？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
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解题方法
10 . 已知椭圆，若椭圆的短轴长为
且经过点
，过点
的直线交椭圆于P，Q两点.
(1)求椭圆方程；
(2)求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点
使得
恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.
，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点.(1)求椭圆方程；
(2)求
面积的最大值，并求此时直线的方程；(3)若直线
与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.
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