1 . 已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E.

（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.

2 . 如图，以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线的焦点为，点是直线上任意一点，过点引抛物线的两条切线分别交轴于点，，切点分别为，．

（1）求抛物线的方程；
（2）求证：点，在以为直径的圆上；
（3）当点在直线上移动时，直线恒过焦点，求的值．

3 . 已知抛物线过定点，、是抛物线上异于的两个动点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

4 . 在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作相互垂直的两条直线，，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.

5 . 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与的准线交于点．
（1）若直线经过点，且，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，且．
①证明：直线经过定点，并求出定点的坐标；
②求的最小值．

6 . 已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线交抛物线于两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，已知，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点，使得直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.

7 . 已知动圆过点(2，0)，被轴截得的弦长为4.
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）若的顶点在的轨迹上，且，关于轴对称，直线经过点，求证：直线恒过定点.

8 . 已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明直线过定点

9 . 已知抛物线上一点，到其焦点的距离等于．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不垂直于轴的直线交抛物线于，两点，直线与的倾斜角互补，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

10 . 已知抛物线过点
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标与准线方程；
（2）直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于，两点，其中为坐标原点.若为线段的中点，求证：直线恒过定点.