1 . 如图，抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，且，分别为线段和的中点．

(1)证明：直线与轴平行或重合．
(2)设圆，若为圆上的动点，设的面积为S，求S的最大值．

2 . 已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．
   
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值．

4 . 已知抛物线的焦点为，过焦点垂直于的直线与抛物线交于，两点，.
(1)求的方程；
(2)点是准线上任一点，过作抛物线的两条切线，，切点分别为，.设，，的斜率分别为，，，证明：.

5 . 过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，
(1)求的方程；
(2)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为定值.若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

6 . 如图，已知抛物线的焦点为，圆心为焦点的圆与轴相切.过点的直线交抛物线与圆分别为（从上到下）.

(1)证明：是定值；
(2)若，的面积比是，求直线的方程.

7 . 已知抛物线，过点作直线与交于，两点，当该直线垂直于轴时，的面积为2，其中为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)若的一条弦经过的焦点，且直线与直线平行，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点N，交于点M，求证：为定值．

9 . 抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想．

10 . 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．