23-24高二上·上海·课后作业
1 . 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误．
(1)设
为正整数，求证：
．
证明：假设当
（
为正整数）时等式成立，即有
．
那么当
时，就有
．因此，对于任何正整数等式都成立．
(2)设为正整数，求证：
．
证明：①当
时，左边
，右边，等式成立．
②假设当（
，为正整数）时，等式成立，即有
，
那么当时，由等比数列求和公式，就有
，等式也成立．
根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立．
(1)设
为正整数，求证：．证明：假设当
（为正整数）时等式成立，即有．那么当
时，就有．因此，对于任何正整数等式都成立．(2)设
为正整数，求证：．证明：①当
时，左边，右边，等式成立．②假设当
（，为正整数）时，等式成立，即有，那么当
时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立．根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定
对任何正整数都成立．
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22-23高二上·上海·期中
解题方法
2 . 已知函数
的图象按向量
平移后得到
的图象，数列
满足
（
且
）．
(1)若
，满足
，求证：数列
是等差数列；
(2)若，试判断数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；
(3)若
，试证明：
．
的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）．(1)若
，满足，求证：数列是等差数列；(2)若
，试判断数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；(3)若
，试证明：．
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2022-11-16更新
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750次组卷
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4卷引用：专题04 数列（10个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）
（已下线）专题04 数列（10个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）（已下线）高二下期中真题精选（压轴40题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）期中真题必刷压轴50题专练-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题1 数学归纳法及其变种 微点3 数学归纳法综合训练
名校
3 . 定义在
上的函数满足：若对任意的实数
，有
，则称为
函数．
（1）判断
和
是否为函数，并说明理由；
（2）当
时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为
，且
，求证：关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数根；
（3）设为函数，且
，定义数列
：
，
，证明：对任意
，有
．
上的函数满足：若对任意的实数，有，则称为函数．（1）判断
和是否为函数，并说明理由；（2）当
时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为，且，求证：关于的方程在区间上有且只有一个实数根；（3）设
为函数，且，定义数列：，，证明：对任意，有．
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解题方法
4 . 
个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数
的等比数列.
已知
，
，
.
（1）设
，求数列的通项公式；
（2）设
，求证：
()；
（3）设
，请用数学归纳法证明：
.
个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.已知
，，.（1）设
，求数列的通项公式；（2）设
，求证：()；（3）设
，请用数学归纳法证明：.
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2021-01-15更新
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197次组卷
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3卷引用：上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题
上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题（已下线）课时23 数学归纳法及其应用-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）2023版 苏教版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第十二单元 数学归纳法
名校
5 . 定义：有限非空数集
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合
，其“积数”
.
（1）若有限数集
，求证：集合
的所有非空子集的“积数”之和
满足
；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（
），记集合A的所有非空子集的“积数”之和
，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集
，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和
奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集
，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集
，①试求由
中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由
中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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名校
6 . 设
，
，
，…，
，希望证明
，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到
应添的项是______ .
，，，…，，希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是
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2020-01-30更新
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230次组卷
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2卷引用：上海市上海外国语大学附属外国语学校2017-2018学年高二上学期期中数学试题
7 . 已知数列，
，
，设
，其中
表示不大于的最大整数．设
，数列的前项和为
．求证：
（1）判断
与
的大小，并说明理由；
（2）证明：
；
（3）证明：当
时，
．
，，，设，其中表示不大于的最大整数．设，数列的前项和为．求证：（1）判断
与的大小，并说明理由；（2）证明：
；（3）证明：当
时，．
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8 . 用数学归纳法证明：
求证：
.
.
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12-13高三上·上海黄浦·期末
9 . 已知
，且
，数列
满足
．
(1) 求证数列 是等比数列；
(2)数列 的通项公式；
(3)若
满足
，试用数学归纳法证明：
．
，且 ，数列 满足．(1) 求证数列
是等比数列；(2)数列
的通项公式；(3)若
满足 ，试用数学归纳法证明：．
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23-24高三上·广东深圳·阶段练习
名校
解题方法
10 . 已知数列的首项不为0，前项的和为，满足
．
(1)证明：
；
(2)若
，证明：
；
(3)是否存在常数
，使得为等比数列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
的首项不为0，前项的和为，满足．(1)证明：
；(2)若
，证明：；(3)是否存在常数
，使得为等比数列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
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