1 . 已知数列中，其前项和记为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列．

2 . 设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则称，调和分割，．现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是（       ）

A．点C可能是线段的中点

B．点D不可能是线段的中点

C．点C，D可能同时在线段上

D．点C，D不可能同时在线段的延长线上

3 . 已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由．

4 . 设数列的前项和为，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

5 . 已知且，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列为“紧密数列”.
（1）若“紧密数列”：为等差数列，，求数列的公差d的取值范围；
（2）数列为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；
（3）数列为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求S的最小值.

6 . 已知正项数列满足：，，其中．
（1）若，求数列的前项的和；
（2）若，．
①求数列的通项公式；
②记数列的前项的和为，若无穷项等比数列始终满足，求数列的通项公式．

7 . 已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和;
(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列?若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由.

8 . 设，，则三个数（        ）

A．都小于4	B．至少有一个不大于4
C．都大于4	D．至少有一个不小于4

9 . 已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.
（1）若数列通项为，求证：；
（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；
（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.

10 . 设数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，证明：数列中任意三项不可能构成等差数列．