【推荐1】若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为.

(1)求椭圆与椭圆的方程；
(2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点.
①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有.
②点M是椭圆上异于C、D的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l的方程.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点的动直线与椭圆的两个交点为，求的面积S的取值范围.

【推荐3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短半轴长为1，点在椭圆E上运动，且的面积最大值为.

(1)求椭圆的方程；
(2)当点为椭圆的上顶点时，过点分别作直线，交椭圆E于M，N两点，设两直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同于P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k₁，k₂．
（1）证明：k₁·k₂为定值；
（2）过F₂的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求|AB|．

【推荐2】已知椭圆的左､右顶点分别是点，，直线与椭圆相交于，两个不同点，直线与直线的斜率之积为，的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是直线的一个动点(不在轴上)，直线与椭圆的另一个交点为，过作的垂线，垂足为，在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．
(1)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．
(2)试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．

【推荐1】已知直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）若线段的中点为，求直线的方程；
（2）若的斜率为，且过椭圆的左焦点，的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.

【推荐2】已知、，动点满足与所在直线的斜率之积为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．

【推荐3】已知椭圆C经过点，且与椭圆E：有相同的焦点.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B在椭圆C上，且线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（3）若动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线交于点Q，问：以线段为直径的圆是否经过x轴上的定点M﹖若存在.求出定点M的坐标；若不存在.请说明理由.