【推荐1】如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.

【推荐2】在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈．

(1)请在图中画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征；
(2)求所得几何体的表面积和体积．

【推荐3】（1）如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是，的中点，为的中点，，分别是，的中点，若将正三角形绕旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积；
（2）若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是，求这个旋转体的体积.

【推荐1】如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：

   

(1)求圆台的侧面积和体积；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

【推荐2】如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一个与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底面半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．

(1)求圆台的侧面积；
(2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕到点A，求这根绳的最短长度；
(3)在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？

【推荐1】如图，在边长为2的正方体中，，分别是棱，的中点,
   
(1)求证：点在平面内；
(2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，，求的值.

【推荐2】如图，四棱台的上底面和下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱上的一点E满足．

(1)证明：平面；
(2)若，且在平面ABCD的正投影落在线段CD上，求四棱台的体积．

【推荐3】如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，D是BC的中点，N为线段AC上的动点．

（1）证明：平面平面；
（2）若的最小值为，求过，，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．

【推荐1】如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是的中点，，垂足分别是，，，若将三角形绕所在直线旋转180度，求阴影部分形成的几何体的体积和表面积.

【推荐2】如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．

【推荐3】如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，，，，垂足分别为D，H，G，若将绕AD所在直线旋转，求阴影部分旋转形成的几何体的表面积.