【推荐1】已知抛物线：的焦点为圆的圆心.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若斜率的直线过抛物线的焦点与抛物线相交于两点，求弦长.

【推荐2】已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．
(1)求抛物线的方程；
(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．

【推荐3】已知抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的方程：
(2)直线与抛物线交于、两点，若以为直径的圆与相切，求实数的值.

【推荐1】已知抛物线C：，过点的动直线l与C交于两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线与x轴分别相交于点.

（1）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）求证：点Q在直线上；
（3）判断是否存在点P，使得四边形为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

【推荐2】已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，证明：.

【推荐3】已知抛物线具有如下性质：若抛物线方程为，则抛物线上任意一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：已知抛物线：，为直线：上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，.
（1）当点的坐标为时，求切点，所在的直线方程；
（2）试探究直线上是否存在点，使得以为直径的圆过点？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．

（1）求焦点的坐标，并证明直线过点；
（2）求四边形面积的取值范围．

【推荐2】已知抛物线C：上一点关于动点的对称点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且为，的中点．
(1)当直线过坐标原点时，求直线的方程；
(2)求面积的最大值．

【推荐3】抛物线截直线所得弦长为．
（1）求的值；
（2）以此弦为底边，以轴上点为顶点的三角形面积为，求点坐标．