【推荐1】现有流量均为的两条河流汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为和．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换的水量，其交换过程为从A股流入B股的水量，经混合后，又从B股流入A股水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于．（不考虑泥沙沉淀）．

【推荐2】已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

【推荐3】设数列的各项均为正数，它的前项和为，点在函数的图象上；数列满足，其中．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求证：数列的前项和．

【推荐1】在各项为正数的数列中，，点在曲线上；对于数列，点在过点，且以为方向向量的直线上．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，问是否存在，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)对任意正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．

【推荐2】已知是数列的前项和，对任意，都有；
(1)若，求证：数列是等差数列，并求此时数列的通项公式；
(2)若，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由；
(3)设，若，求实数的取值范围.

【推荐3】设数列的前项和为，已知，，；
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值.