【推荐1】已知，分别为椭圆E：的左右焦点，其离心率，O为坐标原点，过O作直线l交椭圆于A，B两点，的面积最大值为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过点的直线交椭圆E于C，D两个不同的点，且．求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且短轴长为2，是左右焦点，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆是以为直径的圆，直线与圆相切，且与椭圆交于两点，，求的值.

【推荐3】已知椭圆的方程为，长轴是短轴的倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，坐标平面上的点满足到直线的距离为定值.
（1）写出椭圆方程；
（2）若椭圆上恰好存在个这样的点，求的值.

【推荐1】设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点.
（1）若，求的方程；
（2）设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，证明:为定值.

【推荐2】线段的长等于，两端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率为的动直线，交曲线于、两点，若为曲线的左顶点，直线、的斜率分别为、，求证：为定值，并求出该定值．

【推荐3】已知椭圆：过点，两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)设为第三象限内一点且在椭圆上，椭圆与轴正半轴交于B点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．

【推荐1】已知椭圆，、为椭圆的左右焦点，过斜率为的直线与椭圆相交于、两点，的周长为8，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若(O为坐标原点)，求.

【推荐2】在①点M为椭圆C上顶点时，面积为，②椭圆过点，③离心率，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆 的左、右焦 点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2). 已知椭圆的短轴长为，________．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的值和△PAB的面积.

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为4，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心（高的交点），若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由.