【推荐1】正三棱柱中，是棱的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设，，求点到平面的距离.

【推荐2】已知圆柱OO₁底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面.动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截面ABCD绕着轴OO₁逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B₁C₁与曲线Γ相交于点P.

（1）求曲线Γ长度；
（2）当时，求点C₁到平面APB的距离；
（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图所示，圆锥的侧面积是底面积的2倍，线段为圆锥底面的直径，在底面内以线段为直径作，点为上异于点的动点.

（1）证明：平面平面；
（2）已知，当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离.

【推荐1】如图所示的几何体中，平面，，，，，，为的中点.

（1）求证：；
（2）若.
①求直线与平面所成角的正弦值；
②二面角的平面角的余弦值.

【推荐2】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点，且．
   
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．

【推荐3】如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值的绝对值.