【推荐1】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且的一个焦点为，并过点．
(1)求的方程．
(2)设，为的上、下顶点，，是椭圆上不同于，的两个动点．若直线与直线交于点，点满足轴，证明：直线过定点．

【推荐2】设椭圆过点，且左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆过两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条相互垂直的直线分别交椭圆C于P，Q两点，求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，过点P (4，0)且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N. 求|PM|+|PN|的取值范围

【推荐2】已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(I)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．
(i)求k₁k₂的值： (ii)求OB²+ OC²的值．

【推荐3】已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且当原点O到直线的距离最大时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O且垂直于直线的直线与椭圆C相交于P，Q两点，记四边形PMQN的面积为S，求的取值范围．

【推荐1】椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；
(3)过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过右焦点（不与轴重合）且与椭圆相交于不同的两点，在轴上是否存在一个定点，使得的值为定值？若存在，写出点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点、．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．