【推荐1】已知圆O：x²+y²＝4与x轴交于点，过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为H，N是MH的中点，记N的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过作与x轴不重合的直线l交曲线C于P，Q两点，设直线AP，AS的斜率分别为k₁，k₂.证明：k₁＝4k₂．

【推荐2】已知定点，定直线，动点P与点F的距离是它到直线的距离的2倍．设点P的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程：
（2）在轨迹E上求点，使到直线的距离最小，并求出最小值．

【推荐3】在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
(1)已知动点为圆外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，求出动点的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．

【推荐1】在直角坐标系中，，，C为动点，设的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于P，Q，R，且，记点C的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）不过原点O的直线l与曲线E交于M，N，且直线经过MN的中点T，求的面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆：，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的右顶点，直线是与椭圆交于两点的任意一条直线，若，证明直线过定点.

【推荐3】已知，为椭圆：的左右焦点，点为其上一点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：交椭圆于，两点，且原点在以线段为直径的圆的外部，试求的取值范围．

【推荐1】已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．
（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．

【推荐2】已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆：()的一个焦点与抛物线：的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足．
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）过椭圆另一焦点作直线(斜率存在但不为)与椭圆相交于A、两点，在椭圆长轴上取一点，使得为定值，试求点的坐标及这个定值．