【推荐1】已知椭圆：的长轴长是短轴长的两倍，且过点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点.

【推荐2】已知椭圆的方程为（常数），点A为椭圆短轴的上顶点，点是椭圆上异于点A的一个动点．若动点到定点A的距离的最大值仅在点为短轴得另一顶点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
(1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
(2)若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
(3)已知椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，点关于原点的对称点为点（点也异于点A），且直线、分别与轴交于、两点．试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

【推荐3】如图，P为抛物线上在x轴下方的一点，直线与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为A，B，C，与x轴正半轴分别相交于点M，N，Q，且，直线的方程为．

（1）当时，设直线的斜率分别为，证明：；
（2）记点A、C到直线的距离分别为，，求的取值范围．

【推荐1】已知双曲线的左、右焦点分别为，．
(1)若点，在双曲线C上，求C的方程；
(2)若点P为双曲线C右支上一点，I为的内心，且，过原点O作PI的平行线交于点K，求证：，且点I的横坐标等于PK的长．

【推荐2】已知双曲线的中心为原点，左右焦点分别是，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
(1)求实数的值；
(2)求证：直线与直线的斜率之积是定值，并求出此定值；
(3)点的纵坐标为1，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足，试问：点是否恒在一条定直线上，若是，请求出这条定直线，否则，请说明理由

【推荐3】已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，．
(1)求的标准方程；
(2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值．

【推荐1】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．

【推荐2】已知双曲线的离心率是2，直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)记双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于点，试问点是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

【推荐3】已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线E的左、右顶点分别为、，过点作斜率为k的直线交双曲线E的右支于M、N两点，直线、分别与直线l：交于点P、Q，，试探究的取值是否与k有关？若有关，求与k的关系式；若无关，求的值．

【推荐3】双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线AB的距离为，其中，.
（1）求双曲线的方程；
（2）若是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求时，直线MN的方程.