【推荐1】已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.

【推荐2】已知椭圆，其中为左、右焦点，O为坐标原点.直线l与椭圆交于两个不同点.当直线l过椭圆C右焦点F₂且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为.又椭圆上的点到焦点F₂的最近距离为.

（1）求椭圆C的方程；
（2）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值；
（3）若抛物线为焦点，在抛物线C₂上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C₂于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标.

【推荐3】已知中心在坐标原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
(1)记直线，的斜率分别为，，求的值；
(2)设直线与交于点，求的值.

【推荐2】如图，双曲线的离心率为，分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．

(1)求双曲线的方程；
(2)设和是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线交双曲线于另一点E．证明：直线垂直于x轴．

【推荐3】已知双曲线：过点，且右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值.
(3)在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积.

【推荐1】已知，是椭圆的左右焦点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，当直线过时周长为8.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，是否存在定圆，使得动直线与之相切，若存在写出圆的方程，并求出的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知是椭圆：的右焦点，是坐标原点.过且与轴垂直的直线交椭圆于､两点，若
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）若是以为圆心以为半径的圆上动点，过点且与该圆相切的直线交椭圆于､不同的两点，求面积的最大值

【推荐3】如图，已知椭圆E：，若椭圆E的左、右焦点分别为，．过的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，记的内切圆的半径为r，试求r的取值范围．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、， 为椭圆上一点，与轴交于，，

（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于、两点，若的中点为，为原点，直线交直线于点，求的最大值.

【推荐2】已知椭圆的三个顶点所确定的三角形的面积为，（是的离心率）是上一点.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，设，直线与分别交于（不同于）两点，当时，记直线的倾斜角分别为，，求的最大值.

【推荐3】已知椭圆：的右焦点为，短轴的两个端点分别为，（在轴上方）.

（1）求的面积；
（2）直线交椭圆于，两点，为的垂心，求直线的方程.
（3）已知，是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆：相交于、两点，直线与椭圆相交于另一点，求面积的最大值.