【推荐1】（1）已知数列是正项数列，，且．求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，．求数列的通项公式．

【推荐2】年月日至日，世界新能源汽车大会在海南博鳖召开，以“新时代、新变革、新产业”为主题，突出电动化、智能化、共享化融合发展特色、某汽车公司顺应时代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，经计算样本标准差的近似值为，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在千米到千米之间的概率．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正反面的概率都是，方格图上标有第格、第格、第格，…、第格．遥控车开始在第格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（到），直到遥控车移到第格（胜利大本营）或第格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．

【推荐3】对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，．
(1)已知数列的通项公式．试证明△是等差数列；
(2)若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式；
(3)在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．

【推荐1】从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.
问题：已知数列的前项和为，，___________.
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)记数列，数列的前项和为.证明：.

【推荐2】数列的前项和为，已知.
(1)时，写出与之间的递推关系；
(2)证明数列为等比数列，并求的通项公式.

【推荐3】（1）数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）已知数列中，，前项和 ，求数列的通项公式；
（3）请写出与的关系，并写出已知求时应注意什么？

【推荐1】已知等差数列满足，，又数列中，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列，的前项和分别是，，且，求数列的前项和为；若（，且）对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

【推荐2】已知是正项数列的前n项和，，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前2n项和；
(3)若，证明的前n项和．

【推荐3】已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.