【推荐1】已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值．

【推荐2】已知点和椭圆．
(1)设椭圆的两个焦点分别为，试求 的周长及椭圆的离心率；
(2)若直线 与椭圆交于两个不同的点，设直线 与 的斜率分别为，求证：．

【推荐3】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆内壁反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．从发出的一条光线，经椭圆上，两点（均不与，重合）各反射一次后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为．
（1）求椭圆的长轴长；
（2）若椭圆的焦距为，直线与直线交于点，证明，，三点共线．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．

【推荐2】已知椭圆过点，且的离心率为，、为椭圆的左、右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上一点（不同于、）．求证：直线和的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围．

【推荐3】已知中心为坐标原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为4，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程.

【推荐1】已知直线经过椭圆：的一个焦点和一个顶点．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意，求证：．

【推荐2】已知动点到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的标准方程；
（2）已知点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交轨迹于点，.证明：平分线段（其中为坐标原点）.

【推荐3】已知椭圆的长轴的长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知菱形的顶点，在椭圆上，对角线所在直线的方程为，求直线的方程．