【推荐1】已知椭圆的离心率为，且经过点．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．
(1)若，，求面积的最大值；
(2)是否存在点P，使得过点P作圆的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：和椭圆：，其中，，，的离心率分别为，，且满足，，分别是椭圆的右、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）与椭圆相切的直线交椭圆与点，，求的最大值.

【推荐3】已知椭圆短轴顶点与焦点所组成的四边形面积为2，离心率为．

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线l与椭圆相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，A、B两点距离为3，点P满足，且点P的轨迹为曲线C．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)曲线C与x轴负半轴交于点T，过点T的直线TM，TN分别与曲线C交于M，N两点，直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且，为等边三角形.

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段为直径的圆的方程；
（3）已知是过点A的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于P，Q两点，直线与椭圆C交于另一点R，求面积最大值时，直线的方程.

【推荐3】已知椭圆C：的右焦点为，过的直线与C交于两点.当与轴垂直时，线段长度为1. 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．

【推荐3】已知，是椭圆：的左，右焦点，是上一点，，的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作两条互相垂直的直线与分别交于，和，，若，分别为和的中点.证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.