【推荐1】已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围．

【推荐2】已知两圆的圆心分别为，为一个动点，且直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）是否存在过点的直线与轨迹交于不同的两点，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐3】平面直角坐标系中，已知直线，定点，动点到直线的距离是到定点的距离的2倍.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若为轨迹上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线（，为切点），求四边形面积的最大值．

【推荐1】已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.
（1）求面积的最大值；
（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.

【推荐2】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上.椭圆C的左顶点为A.
（1）求椭圆C的方程
（2）椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于P，Q两点，求三角形APQ的面积；
（3）过点A作直线与椭圆C交于另一点B.若直线交轴于点C，且，求直线的斜率.

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为，其中右焦点坐标为，该椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆上一点，过点的直线l与椭圆交于异于点P的A，B两点，若的面积是，求直线l的方程．

【推荐1】已知直线与椭圆交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为，长轴长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若OA，OB的斜率分别为，，，求证：为定值；
（3）已知点，当的面积S最大时，求的最大值.

【推荐2】已知椭圆经过点，其长半轴长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的左、右顶点，为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为.

(1)求的方程；
(2)直线交于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.

【推荐1】坐标平面中，是椭圆上一点，经过的直线（不过点）与交于两点，直线与的斜率乘积为.
(1)求的方程；
(2)直线与交于点，且.当点到直线的距离最大时，求直线的方程.

【推荐2】已知椭圆T：的左焦点为，上顶点为P.直线PF与椭圆T交于另一点Q，且，点在椭圆T上.
(1)求椭圆T的方程；
(2)过点，且斜率为k的直线l与椭圆T相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为，作，垂足为N.是否存在定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R和；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆经过点，离心率，其中分别表示标准正态分布的期望值与标准差．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为．
①试建立的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m变化，直线与x轴相交时，交点是一个定点”．你认为此推断是否正确?若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．